1) 첫 번째 조건 \(6^x = 9 = 3^2\) 의 양변을 \(\dfrac{1}{x}\)제곱하면 \[6 = 3^{\frac{2}{x}}\] 입니다.
2) 두 번째 조건 \(54^y = 27 = 3^3\) 의 양변을 \(\dfrac{1}{y}\)제곱하면 \[54 = 3^{\frac{3}{y}}\] 입니다.
3) 지수법칙을 이용하여 두 식을 나누면 \[3^{\frac{2}{x} - \frac{3}{y}} = 3^{\frac{2}{x}} \div 3^{\frac{3}{y}} = \dfrac{6}{54} = \dfrac{1}{9} = 3^{-2}\] 입니다.
4) 밑이 \(3\)으로 같으므로 지수를 비교하면 \(\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{y} = -2\) 입니다.

1) 로그가 정의되기 위한 밑의 조건은 밑이 \(1\)이 아닌 양수여야 하므로 \[|x - 2| > 0 \quad\text{이고}\quad |x - 2| \neq 1 \implies x \neq 2, \quad x - 2 \neq \pm 1 \implies x \neq 1, 2, 3 \quad \cdots \text{㉠}\] 입니다.
2) 로그가 정의되기 위한 진수의 조건은 진수가 양수여야 하므로 \[-x^2 + 6x - 5 > 0 \implies x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) < 0 \implies 1 \lt x \lt 5 \quad \cdots \text{㉡}\] 입니다.
3) ㉡의 범위 \(1 \lt x \lt 5\) 에 속하는 정수 \(x\)는 \(2, 3, 4\) 이며, 이 중 밑의 조건 ㉠(\(x \neq 1, 2, 3\))을 동시에 만족시키는 정수는 \(x = 4\) 뿐입니다.
4) 따라서 구하는 정수 \(x\)의 값은 \(4\) 입니다.

1) \(a > 0\) 이므로 함수 \(f(x) = a\cos(bx) + 2\) 의 최댓값은 \(a + 2\) 입니다. \[a + 2 = 5 \implies a = 3\] 2) \(b > 0\) 이므로 함수 \(f(x)\)의 주기는 \(\dfrac{2\pi}{b}\) 입니다. \[\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{2\pi}{3} \implies b = 3\] 3) 따라서 \(f(x) = 3\cos(3x) + 2\) 입니다.
4) \(x = \dfrac{\pi}{9}\) 를 대입하면 \[f\left(\dfrac{\pi}{9}\right) = 3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + 2 = 3 \times \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{7}{2}\] 입니다.

1) 평행사변형 \(\text{ABCD}\)에서 \(\overline{\text{BC}} = \overline{\text{AD}} = 5\) 입니다. 삼각형 \(\text{ABC}\)에 코사인법칙을 적용하면 \[\cos B = \dfrac{\overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{BC}}^2 - \overline{\text{AC}}^2}{2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{BC}}} = \dfrac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac{1}{2}\] 입니다.
2) \(0 \lt B \lt \pi\) 이므로 \(\angle\text{B} = \dfrac{2\pi}{3}\) (\(120^\circ\)) 입니다.
3) 평행사변형에서 이웃한 두 내각의 합은 \(\pi\) 이므로 \(\angle\text{A} = \pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}\) 입니다.
4) 삼각형 \(\text{ABD}\)에 코사인법칙을 적용하면 \[\overline{\text{BD}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \cos\dfrac{\pi}{3} = 9 + 25 - 30 \times \dfrac{1}{2} = 19 \implies \overline{\text{BD}} = \sqrt{19}\] 입니다.

1) 주어진 시그마 내부의 일반항을 전개하여 정리합니다. \[(a_k - k)(a_k + k - 2) = a_k^2 + (k - 2)a_k - ka_k - k^2 + 2k = a_k^2 - 2a_k - k^2 + 2k\] 2) 합의 기호 \(\sum\)의 선형성을 이용하여 각 항을 분리합니다. \[\sum_{k=1}^{10} (a_k^2 - 2a_k - k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{10} a_k^2 - 2\sum_{k=1}^{10} a_k - \sum_{k=1}^{10} k^2 + 2\sum_{k=1}^{10} k\] 3) 자연수의 거듭제곱의 합 공식에 의하여 \[\sum_{k=1}^{10} k = \dfrac{10 \times 11}{2} = 55, \qquad \sum_{k=1}^{10} k^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385\] 입니다.
4) 주어진 값을 대입하여 계산하면 \[45 - 2(15) - 385 + 2(55) = 45 - 30 - 385 + 110 = -260\] 입니다.

1) 먼저 \(\lim_{x \to 1^-} f(f(x))\) 를 구합니다. \(x \to 1^-\) 일 때 \(x < 1\) 에서 \(f(x) = x^2 + 1\) 은 \(2\)보다 작은 값을 가지면서 \(2\)에 한없이 가까워집니다(\(f(x) \to 2^-\)).
2) \(t = f(x)\) 라 하면 \(t \to 2^-\) 이고, \(t = 2\) 근방에서는 \(t \ge 1\) 이므로 \[\lim_{x \to 1^-} f(f(x)) = \lim_{t \to 2^-} f(t) = -2(2) + 3 = -1\] 입니다.
3) 다음으로 \(\lim_{x \to 0^+} f(1 - x)\) 에서 \(1 - x = s\) 로 치환하면 \(x \to 0^+\) 일 때 \(s \to 1^-\) 입니다. \[\lim_{x \to 0^+} f(1 - x) = \lim_{s \to 1^-} f(s) = 1^2 + 1 = 2\] 4) 따라서 두 극한값의 합은 \(-1 + 2 = 1\) 입니다.

1) 나누는 식 \((x - 1)^2\) 이 이차식이므로 나머지 \(R(x)\)는 일차 이하의 다항식 \(R(x) = ax + b\) (\(a, b\)는 상수)로 놓을 수 있습니다. 몫을 \(Q(x)\)라 하면 항등식 \[x^{10} - 2x^3 + 4 = (x - 1)^2 Q(x) + ax + b \quad \cdots \text{㉠}\] 이 성립합니다.
2) ㉠의 양변에 \(x = 1\) 을 대입하면 \[1 - 2 + 4 = a + b \implies a + b = 3 \quad \cdots \text{㉡}\] 입니다.
3) ㉠의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \[10x^9 - 6x^2 = 2(x - 1)Q(x) + (x - 1)^2 Q'(x) + a\] 이며, 이 식의 양변에 \(x = 1\) 을 대입하면 \(10 - 6 = a \implies a = 4\) 입니다.
4) ㉡에서 \(b = -1\) 이므로 \(R(x) = 4x - 1\) 이며, \(R(3) = 4(3) - 1 = 11\) 입니다.

1) \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k\) 라 하면, \(x \ge 0\) 에서 \(f(x) \ge 0\) 이 항상 성립하려면 구간 \([0, \infty)\) 에서의 \(f(x)\)의 최솟값이 \(0\) 이상이어야 합니다.
2) 도함수를 구하여 증감을 조사합니다. \[f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\] \(x \ge 0\) 범위에서 \(f'(x) = 0\) 인 점은 \(x = 3\) 입니다.
3) \(0 \le x < 3\) 에서 \(f'(x) < 0\) (감소), \(x > 3\) 에서 \(f'(x) > 0\) (증가)이므로, 함수 \(f(x)\)는 \(x = 3\) 에서 극소이자 최소가 됩니다.
4) 따라서 구간 \([0, \infty)\) 에서의 최솟값은 \[f(3) = 27 - 27 - 27 + k = k - 27 \ge 0 \implies k \ge 27\] 이므로 실수 \(k\)의 최솟값은 \(27\) 입니다.

1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\) 이므로 \(f(x)\)는 우함수(짝수차 대칭 함수)입니다.
2) \(x^3 + 3x\) 는 기함수이므로 기함수와 우함수의 곱인 \((x^3 + 3x)f(x)\) 는 기함수입니다. 따라서 대칭 구간 \([-2, 2]\) 에서의 정적분 성질에 의하여 \[\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x)f(x)\,dx = 0\] 입니다.
3) 반면 \(-2f(x)\) 는 우함수이므로 \[\int_{-2}^{2} (-2)f(x)\,dx = -2 \times 2\int_{0}^{2} f(x)\,dx = -4\int_{0}^{2} f(x)\,dx\] 입니다.
4) \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 5\) 를 대입하면 구하는 정적분의 값은 \(0 - 4 \times 5 = -20\) 입니다.

1) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\) 와 직선 \(y = mx\) 의 교점의 \(x\)좌표를 구하기 위해 연립합니다. \[-x^2 + 4x = mx \implies x^2 - (4 - m)x = x\{x - (4 - m)\} = 0\] \(0 \lt m \lt 4\) 이므로 두 교점의 \(x\)좌표는 \(0\) 과 \(4 - m\; (> 0)\) 입니다.
2) 구간 \([0, 4 - m]\) 에서 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \[S = \int_{0}^{4-m} \left\{-x^2 + (4 - m)x\right\}dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{4 - m}{2}x^2\right]_{0}^{4-m} = \dfrac{(4 - m)^3}{6}\] 입니다.
3) 넓이가 \(\dfrac{9}{2}\) 이므로 \[\dfrac{(4 - m)^3}{6} = \dfrac{9}{2} \implies (4 - m)^3 = 27 = 3^3\] 입니다.
4) 실수 \(4 - m = 3\) 에서 \(m = 1\) 입니다.